تمامی عوامل یاد شده موجب شدند ریاضیدانان در مسیر تدقیق نظریه مجموعه‌ها و ارایه نظریه اصل موضوعی و سازگار از مجموعه‌ها کوشش کنند و به این ترتیب نظریه‌های متعددی در این زمینه ارائه شد.

از طرفی نظریه مجموعه‌ها درحال تأثیر گذاری به روی سایر بخش‌های ریاضیات بود.واقعیت این بود که آنالیز به نظریه مجموعه‌های جرج کانتور نیاز داشت و نمی‌توانست خود را به مدل شهودگرایانه ریاضیات که اساس کار ریاضیدانانی چون کرونکر را تشکیل می‌داد محدود کند. در حقیقت در آن زمان نظریه مجموعه‌ها به عنوان اساس ریاضیات در نظر رفته شده بود و همه مفاهیم ریاضی بر پایه مجموعه تعریف می‌شدند(که البته اکنون نیز چنین است).

به این ترتیب، ریاضیدانان سعی کردند با حفظ ویژگی‌های اصلی مجموعه‌ها، نظریه مجموعه‌ها را به گونه‌ای پایه ریزی کنند تا بدور از پارادکس‌ها باشد. آنها به دنبال دستگاه اصل موضوعی و سازگار بودند تا بتواند اساس محکمی به عنوان مبانی ریاضیات باشد تا بتوان مفاهیم ریاضی را بر پایه آنها تعریف نمود.

اصول موضوع نظریه مجموعه‌های تسرملو-فراکیل(ZF-ZFC)

در سال 1908، ارنست تسرملو یک دستگاهی از اصول موضوع را برای نظریه مجموعه‌ها پایه گذاری کرد که با تصحیح کارهای او به‌وسیله آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم، نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرنکیل یا ZF بوجود امد. کمی بعد تسرملو اصل موضوع جنجال برانگیزی به عنوان اصل موضوع انتخاب را به اصول موضوع ZF اضافه کرد و سیستم اصول موضوع ZFC را پدید آورد. بسیاری از ریاضیدانان به اصل موضوع انتخاب با دید تردید نگاه می‌کردند و بحث‌های زیادی بر سر قرار دادن آن در میان اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها انجام شده‌است اما به هر حال تسرملو از این اصل برای اثبات قضیه‌ای حیرت انگیز، یعنی قضیه خوشترتیبی استفاده کرد.

نکته مهمی که باید در ZFC یادآور شد این است که در آن همه اشیای مورد بحث مجموعه هستند و در حقیقت برای مقاصد ریاضی، نیاز به بررسی اشیایی دیگر بجر مجموعه‌ها را نداریم.

ده اصل موضوع ZFC عبارتند از: اصل موضوع گسترش، اصل موضوع مجموعه تهی ،اصل موضوع تصریح، اصل موضوع زوج سازی، اصل موضوع اجتماع، اصل موضوع مجموعه توانی، اصل موضوع ترتیب ،اصل موضوع بینهایت، اصل موضوع انتخاب، اصل موضوع جایگزینی.

سازگاری و عدم وابستگی در ZFC

"یک دستگاه اصل موضوعی را سازگار می‌گوییم اگر در آن تناقض موجود نباشد." تا کنون هیچ تناقضی در دستگاه اصل موضوعی ارائه شده کشف نشده‌است ولی از کجا می‌توان فهمید هیچ تناقضی از نظر پنهان نمانده است؟پاسخ این سوال متأسفانه این است که ما نمی‌توانیم مطمئن باشیم!

 نظریه مجموعه‌ها(ZFC) به عنوان مبانی ریاضیات

همانطور که گفته شد با گسترش نظریه مجموعه‌ها و بویژه اصل موضوعی شدن آن، این نظریه به عنوان اساس ریاضیات قرار گرفت و همه مفاهیم ریاضی چون اعداد، نظریه ترتیب، رابطه ، توابع و سایر مفاهیم یا مستقیماً به‌وسیله مجموعه‌ها تعریف شدند یا برپایه مفاهیم بدست آمده از آنها.

به این ترتیب نظریه مجموعه‌ها به زبان ریاضیات تبدیل شد که همه تعاریف و مفاهیم به آنها باز می‌گردد.